Комбінаторика без повторень. Задачі на спортивну тематику.

I  Розміщення

Задача 1

Чемпіонат, в якому беруть участь 16 команд, проводиться в два круги(тобто кожна команда двічі зустрічається з кожною з решти команд). Визначте, яка кількість зустрічей має бути проведена.

Розв'язання.

У кожній зустрічі одна з команд назвемо «хазяїном», а другу -«гостем». Тоді кількість зустрічей дорівнює кількості пар «хазяїн-гість», що обирається з цих 16 команд.

Отже має бути проведено

зустрічей.

Задача 2

Із групи в 15 чоловік вибирають чотирьох учасників естафети 800Х400Х200Х100 м. Скількома способами можна розставити спортсменів на етапах такої естафети?

Розв'язання.

 способами.

Задача 3

Команда з п’яти чоловік виступає в змаганнях, в яких бере участь ще 20 спортсменів. Скількома способами можуть бути розподілені місця, зайняті членами цієї команди, при умові, що кожне місце на цих змаганнях не може бути поділено?

Розв'язання.

Всього учасників 25 чоловік, а отже шуканих способів буде

Задача 4

Шаховий турнір, в якому бере участь 18 шахістів, проводиться в один круг. Скільки буде зіграно партій в цьому турі?

Задача 5

З команди в якій 10 плавців, вибирається четвірка, що приймає участь в естафеті комплексним плаванням ( тобто кожний пливе своїм стилем). Скількома способами можна вибрати цю естафетну четвірку?

Задача 6

Три гімнастки України приймали участь у чемпіонаті світу разом ще з 33 спортсменками інших країн. Скількома способами можуть бути розподілені місця, що посіли члени команди України, при умові, що жодне місце не може бути поділено?

Задача 7

 Чотири біатлоністи з України приймали участь у чемпіонаті світу. Відомо, що кожен з них не посів місце, нижче п'ятнадцятого. Скількома способами могли бути розподілені місця, що посіли представники України, при умові, що жодне місце не було поділено?

II  Перестановки

Задача 1

Учасники шахового турніру грають в залі, де є 8 столів. Скількома способами можна розмістити шахістів, якщо учасники всіх партій відомі?

Розв'язання.

За умовою пари шахістів відомі. Тому досить  розподілити столи між 8 парами,  а це можливо зробити P8 =8! способами.

Задача 2

В чемпіонаті України з футболу грає 18 команд. Скількома способами можуть розподілитись місця,  зайняті командами, якщо відомо, що команди «Динамо», «Дніпро», «Шахтар», «Чорноморець» і «Таврія» займуть перші п’ять місць?

Задача 3

Скількома способами можна вишикувати в одну шеренгу гравців футбольних команд ( по 11 чоловік) так, щоб при цьому два футболісти однієї команди не стояли поруч?     

III Сполучення (комбінації)

Задача 1

18 футбольних команд побажали обмінятися вимпелами (по одному). Скільки вимпелів для цього потрібно?

Задача 2

Три стрільця повинні улучити 15 мішеней (кожен по п’ять). Скількома способами вони можуть розподілити мішені між собою?

Задача 3

Скільки різних варіантів хокейної ²шістки² можна скласти з 2 воротарів, 13 нападаючих і 7 захисників, якщо  до їх складу входять 1 воротар, 3 нападаючих та 2 захисника?